Title: automation

Q: Was ist das Kronecker Delta? Was sagt es aus?
A: [$$]\delta_{ij}=\begin{cases}1 & i = j \\ 0 & i \ne j \end{cases}[/$$]
Gibt das ergebnis des Skalarproduktes zweier Basisvektoren [$]\mathbf{e_i}\cdot\mathbf{e_j} = \delta_{ij}[/$]

Q: Was ist das Levi-Civita Symbol? Was sagt es aus?
A: [$$]\epsilon_{ijk}=\begin{cases}+1&(i,j,k) gerade Permutation \\ -1 & (i,j,k) ungerade Permutation \\  0 & (i,j,k) keine Permutation\end{cases}[/$$]
Es gibt den Vorfaktor des Kreuzproduktes und die Richtung an, das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren [$]\mathbf{e_i}[/$] und [$]\mathbf{e_j}[/$] an:
[$$]\mathbf{e_i}\times\mathbf{e_j} = \epsilon_{ijk}\mathbf{e_k}[/$$]

Q: Was ist das Spatprodukt? Was kann man damit berechnen?
A: "[$$]\mathbf{V} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} \mathbf{a_x} & \mathbf{b_x} & \mathbf{c_x} \\ \mathbf{a_y} & \mathbf{b_y} & \mathbf{c_y} \\ \mathbf{a_z} & \mathbf{b_z} & \mathbf{c_z} \end{vmatrix}[/$$]
Es ergibt das gerichtete Volumen des Parallelepipedes an und ist zyklisch vertauschbar."

Q: Was ist
[$]\left(\mathbf{a}\cdot\nabla\right)\mathbf{r}[/$]
A: [$]\mathbf{a}[/$]

Q: Was ist
[$]\nabla\times\mathbf{r}[/$]
A: [$]\vec{0}[/$]

Q: Was ist
[$]\nable\cdot\mathbf{r}[/$]
A: [$]3[/$]

Q: Wie hängen die Raumladungsdichte und die elektrische Flussdichte (in der Elektrostatik) zusammen?
A: [$]\nabla\cdot D = \rho[/$]

Q: Wie ist der magn. Fluss definiert? Was ist das Formelzeichen und welche Einheit hat er?
A: Analog zum elektr. Strom zurfolge einer magn. Spannung durch einen magn. Widerstand.
[$$][\Phi]=Wb=V\cdot s=T\cdot m^2=\frac{kg\cdot m^2}{A\cdot s^2}[/$$]

Q: Wie kann das Kreuzprodukt als Determinante geschrieben werden?
A: [$$]\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{e_x} & \mathbf{e_y} & \mathbf{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}[/$$]

Q: Wie lautet der Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten?
A: [$$]\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{e}_z[/$$]

Q: Wie lautet die Graßman-Identität?
Wozu ist sie hilfreich?
A: "[$$]\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})[/$$]
Um einen Vektor in einen Paralle- und einen Senkrechtanteil zu zerlegen:
[$$]\mathbf{a} = \mathbf{e} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{e}) + \mathbf{e} (\mathbf{e} \cdot \mathbf{a})[/$$]
Wobei der erste Summand senkrecht, und der zweite parallel zu [$]\mathbf{e}[/$] stehen."

Q: Wie lautet die Lagrange-Identität?
A: [$$](\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})[/$$]
mit Spezialfall
[$$]|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2[/$$]

Q: Wie Lautet die Poisson-Gleichung?
Wann gilt sie?
Gibt es Spezialfälle?
A: [$]\mathbf{\Delta\varphi(r)}=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon}[/$]
Sie gilt in der Elektrostatik
Die Laplace-Gleichung der Elektrostatik, wo:
[$]\rho(\mathbf{r}) = 0[/$]

Q: Wie sieht das Feld einer Punktladung aus?
A: [$$]\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \mathbf{e_r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^3} \mathbf{r}[/$$]

Q: Wie verhält sich der Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten für
[$$]\mathbf{r}''=\mathbf{r}-\mathbf{r}'[/$$]
A: [$$]\nabla_r=-\nabla_{r'}=\nabla_{r''}[/$$]
Weil sich die Basisvektoren bei Verschiebung (in kartesischen Koordinaten) nicht ändert