Title: automation

Q: Wie sieht ein lineares System aus? Was sind die Komponenten?
A: [$]\dot{x}=Ax+Bu[/$]
[$]y=Cx+Du[/$]
[$]x(t_0)=x_0[/$]

Q: Was ist das Kronecker Delta? Was sagt es aus?
A: [$$]\delta_{ij}=\begin{cases}1 & i = j \\ 0 & i \ne j \end{cases}[/$$]
Gibt das ergebnis des Skalarproduktes zweier Basisvektoren [$]\mathbf{e_i}\cdot\mathbf{e_j} = \delta_{ij}[/$]

Q: Was ist das Levi-Civita Symbol? Was sagt es aus?
A: [$$]\epsilon_{ijk}=\begin{cases}+1&(i,j,k) gerade Permutation \\ -1 & (i,j,k) ungerade Permutation \\  0 & (i,j,k) keine Permutation\end{cases}[/$$]
Es gibt den Vorfaktor des Kreuzproduktes und die Richtung an, das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren [$]\mathbf{e_i}[/$] und [$]\mathbf{e_j}[/$] an:
[$$]\mathbf{e_i}\times\mathbf{e_j} = \epsilon_{ijk}\mathbf{e_k}[/$$]

Q: Was ist das Spatprodukt? Was kann man damit berechnen?
A: "[$$]\mathbf{V} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} \mathbf{a_x} & \mathbf{b_x} & \mathbf{c_x} \\ \mathbf{a_y} & \mathbf{b_y} & \mathbf{c_y} \\ \mathbf{a_z} & \mathbf{b_z} & \mathbf{c_z} \end{vmatrix}[/$$]
Es ergibt das gerichtete Volumen des Parallelepipedes an und ist zyklisch vertauschbar."

Q: Was ist
[$]\left(\mathbf{a}\cdot\nabla\right)\mathbf{r}[/$]
A: [$]\mathbf{a}[/$]

Q: Was ist
[$]\nabla\times\mathbf{r}[/$]
A: [$]\vec{0}[/$]

Q: Was ist
[$]\nable\cdot\mathbf{r}[/$]
A: [$]3[/$]

Q: Wie hängen die Raumladungsdichte und die elektrische Flussdichte (in der Elektrostatik) zusammen?
A: [$]\nabla\cdot D = \rho[/$]

Q: Wie ist der magn. Fluss definiert? Was ist das Formelzeichen und welche Einheit hat er?
A: Analog zum elektr. Strom zurfolge einer magn. Spannung durch einen magn. Widerstand.
[$$][\Phi]=Wb=V\cdot s=T\cdot m^2=\frac{kg\cdot m^2}{A\cdot s^2}[/$$]

Q: Wie kann das Kreuzprodukt als Determinante geschrieben werden?
A: [$$]\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{e_x} & \mathbf{e_y} & \mathbf{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}[/$$]

Q: Wie lautet der Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten?
A: [$$]\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{e}_z[/$$]

Q: Wie lautet die Graßman-Identität?
Wozu ist sie hilfreich?
A: "[$$]\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})[/$$]
Um einen Vektor in einen Paralle- und einen Senkrechtanteil zu zerlegen:
[$$]\mathbf{a} = \mathbf{e} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{e}) + \mathbf{e} (\mathbf{e} \cdot \mathbf{a})[/$$]
Wobei der erste Summand senkrecht, und der zweite parallel zu [$]\mathbf{e}[/$] stehen."

Q: Wie lautet die Lagrange-Identität?
A: [$$](\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})(\mathbf{a} \cdot \mathbf{d})[/$$]
mit Spezialfall
[$$]|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2[/$$]

Q: Wie Lautet die Poisson-Gleichung?
Wann gilt sie?
Gibt es Spezialfälle?
A: [$]\mathbf{\Delta\varphi(r)}=-\frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon}[/$]
Sie gilt in der Elektrostatik
Die Laplace-Gleichung der Elektrostatik, wo:
[$]\rho(\mathbf{r}) = 0[/$]

Q: Wie sieht das Feld einer Punktladung aus?
A: [$$]\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \mathbf{e_r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^3} \mathbf{r}[/$$]

Q: Wie verhält sich der Nabla-Operator in kartesischen Koordinaten für
[$$]\mathbf{r}''=\mathbf{r}-\mathbf{r}'[/$$]
A: [$$]\nabla_r=-\nabla_{r'}=\nabla_{r''}[/$$]
Weil sich die Basisvektoren bei Verschiebung (in kartesischen Koordinaten) nicht ändert

Q: Was is das Symbol und die Einheit der elektrischen Flussdichte?
A: [$]D[/$]
[$][\frac{C}{m^2}]=[\frac{A s}{m^2}][/$]

Q: Was ist das Symbol und der Wert der elektrischen Feldkonstante?
A: [$]\varepsilon_0\approx 8.854\cdot 10^{-12}\frac{F}{m}=8.854\cdot 10^{-12}\frac{A s}{V m}=8.854\cdot 10^{-12}\frac{A^2 s^4}{kg m^3}[/$]

Q: Was ist das Symbol und der Wert der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum?
A: [$]c_0=299 792 458 \frac{m}{s}\cong 3\cdot 10^{9}\frac{m}{s}[/$]

Q: Was ist das Symbol und der Wert der magnetischen Feldkonstante?
A: [$]\mu_0\approx 4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{H}{m}=4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{Wb}{A m}=4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{V s}{A m}=4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{kg m}{A^2 s^2}[/$]

Q: Was ist das Symbol und die Einheit der elektrischen Spannung?
A: [$]U[/$]
[$][V]=[\frac{W}{A}]=[\frac{kg m^2}{A s^3}][/$]

Q: Was ist das Symbol und die Einheit des elektrischen Feldes?
A: [$]E[/$]
[$][\frac{V}{m}]=[\frac{kg m}{A s^3}][/$]

Q: Was ist das Symbol und die Einheit des elektrischen Flusses?
A: [$]\Psi[/$]
[$][C]=[A s][/$]

Q: Was ist die Ladung eines Elektrons?
A: [$]e^-\approx -1.602\cdot 10^{-19} C[/$]

Q: Was ist die Lorentz-Kraft?
A: [$$]\mathbf{F}=Q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)[/$$]

Q: Was ist die magn. Feldstärke?
A: [$$]\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu}-\mathbf{M}[/$$]
[$]\mathbf{M}[/$] ist die Magnetisierung.

Q: Was ist die magn. Flussdichte, was ist ihr Formelzeiche?
A: Die magn. Flussdichte [$]\mathbf{B}[/$] ist die Flächendichte des magn. Flusses [$]\Phi[/$]
[$$]\mathbf{B}=\mu\cdot\mathbf{H}[/$$]
[$$]\left[B\right]=T=\frac{Wb}{m^2}[/$$]

Q: Was verbindet die elektrische Flussdichte und die Feldstärke?
A: [$]D=\varepsilon_r\varepsilon_0 E[/$]

Q: Wie berechnet man die Kraft, die auf einen Linienleiter in einem magn. Feld wirkt?
A: [$$]\mathbf{F}=I\cdot l \times \mathbf{B}[/$$]

Q: Wie hängen die magnetische Feldkonstante, die elektrische Feldkonstante und die Lichtgeschwindigkeit zusammen?
A: [$]\varepsilon_0 \mu_0 c_0^2=1[/$]

Q: Wie ist die Induktivität definiert? Welche Einheit hat sie?
A: L ist der Zusammenhang zwischen der Änderungsrate des Stromes und der elektr. Spannung.
[$$]U(t)=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}[/$$]
[$$]H=\frac{Vs}{A}=\frac{Wb}{A}=\frac{kg\cdot m^2}{s^2A^2}[/$$]
Weber ist die Einheit des magn. Flusses [$]\Phi[/$]

Q: Wie sieht das magn. Feld, hervorgerufen durch einen Linienleiter aus?
A: magn. Flussdichte [$$]B=\frac{\mu I}{2\pi\rho}\mathbf{e}_s[/$$]
mit
[$$]\mathbf{e}_s=\mathbf{e}_I\times\mathbf{e}_\rho[/$$]

Q: Satz von Schwartz?
A: [$$]\partial_x\partial_y f=\partial_y\partial_x f[/$$]

Q: Wie lautet die Produktregel?
A: [$$](f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'[/$$]

Q: Wie lautet die Quotientenregel?
A: [$$]\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}[/$$]

Q: Wie ist die Arbeit definiert, was ist ihre Einheit?
A: Arbeit ist die Kraft entlang eines Weges
[$]W=F\cdot s[/$]
mit Einheit
[$]J=Nm=Ws[/$]

Q: Wie ist die Kraft definiert, welche Einheit hat sie?
A: Die Kraft ist Gewicht mal Beschleunigung
[$$]F=m\cdot\frac{s}{t^2}[/$$]
und der Einheit
[$$]N=\frac{kg m}{s^2}[/$$]

Q: Wie ist die Leistung definiert, welche Einheit hat sie?
A: Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit
[$]P=\frac{W}{t}[/$]
mit der Einheit
[$]W=\frac{J}{s}[/$]